a) Cho a,b>0 chứng minh a\(^3\)+b\(^3\)\(\ge\)ab(a+b)
b) Cho a,b,c>0 thỏa mã abc=1 chứng minh \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\)
1. Cho \(a,b>0\). Chứng minh \(\frac{a}{\sqrt{b}}+\frac{b}{\sqrt{a}}\ge\sqrt{a}+\sqrt{b}\)
2. Cho \(a,b,c\in\left[0;1\right].\)Chứng minh \(a\left(1-b\right)+b\left(1-c\right)+c\left(1-a\right)\le1\)
3. Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \(\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)
4. Cho \(a,b,c>0\)thỏa mãn \(\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge2\). Chứng minh \(abc\le\frac{1}{8}\)
5. Cho \(x,y\ge0\)thỏa mãn \(x^3+y^3=2\). Chứng minh \(x^2+y^2\le2\)
6. Cho \(a,b,c\ne0\). Chứng minh \(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{c^2}+\frac{c^2}{a^2}\le\frac{a}{c}+\frac{b}{a}+\frac{c}{b}\)
7. Cho \(a,b,c\)là độ dài ba cạnh của tam giác. Chứng minh \(a^2b+b^2c+c^2a+a^2c+b^2a-a^3-b^3-c^3-2abc>0\)
8. Cho \(a,b,c>0\). Chứng minh \(\frac{5b^3-a^3}{ab+3b^2}+\frac{5c^3-b^3}{bc+3c^2}+\frac{5a^3-c^3}{ca+3a^2}\le a+b+c\)
mấy bài cơ bản nên cũng dễ, mk có thể giải hết cho bn vs 1 đk : bn đăng từng câu 1 thôi nhé !
bài 3 có thể lên gg tìm kỹ thuật AM-GM (cosi) ngược dấu
bài 8 c/m bđt phụ 5b3-a3/ab+3b2 </ 2b-a ( biến đổi tương đương)
những câu còn lại 1 nửa dùng bđt AM-GM , 1 nửa phân tích nhân tử ròi dựa vào điều kiện
Bài 3
\(VT=a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}+b-\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}+c-\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 3 bộ số thực không âm
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a^2+ab+b^2\ge3ab\\b^2+bc+c^2\ge3bc\\c^2+ca+a^2\ge3ca\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\le\frac{a+b}{3}\\\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\le\frac{b+c}{3}\\\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\le\frac{c+a}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow\hept{\begin{cases}a-\frac{ab\left(a+b\right)}{a^2+ab+b^2}\ge a-\frac{a+b}{3}\\b-\frac{bc\left(b+c\right)}{b^2+bc+c^2}\ge b-\frac{b+c}{3}\\c-\frac{ca\left(c+a\right)}{c^2+ca+a^2}\ge c-\frac{c+a}{3}\end{cases}}\)
\(\Rightarrow VT\ge a+b+c-\frac{2\left(a+b+c\right)}{3}\)
\(\Rightarrow VT\ge\frac{a+b+c}{3}\)
\(\Leftrightarrow\frac{a^3}{a^2+ab+b^2}+\frac{b^3}{b^2+bc+c^2}+\frac{c^3}{c^2+ca+a^2}\ge\frac{a+b+c}{3}\)( đpcm )
Cho \(a,b\ge0\) . CM BĐT \(a^3+b^3\ge a^2b+b^2a=ab\left(a+b\right)\left(1\right)\)
Áp dụng chứng minh các BĐT sau :
a) \(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{1}{abc}\) với \(a,b,c>0\)
b) \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\) với \(a,b,c>0\) và \(abc=1\)
c) \(\frac{1}{a+b+c}+\frac{1}{b+c+1}+\frac{1}{c+a+1}\le1\) với \(a,b,c>0\) và \(abc=1\)
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)-ab\left(a+b\right)\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a+b\right)\left(a-b\right)^2\ge0\) ( đúng )
Dấu "=" \(\Leftrightarrow a=b\)
a) Áp dụng BĐT trên ta có:
\(\Sigma\left(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\right]=\frac{1}{a+b+c}\cdot\left(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca}\right)=\frac{a+b+c}{\left(a+b+c\right)\cdot abc}=\frac{1}{abc}\)
Dấu "=" khi \(a=b=c\)
b) \(\Sigma\left(\frac{1}{a^3+b^3+1}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{ab}\cdot\left(\frac{1}{a+b+c}\right)\right]=\frac{1}{abc}=1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)
c) \(\Sigma\left(\frac{1}{a+b+1}\right)\le\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}\right)+\sqrt[3]{abc}}\right)=\Sigma\left[\frac{1}{\sqrt[3]{ab}\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)}\right]\)
\(=\frac{1}{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}\cdot\left(\frac{1}{\sqrt[3]{ab}}+\frac{1}{\sqrt[3]{bc}}+\frac{1}{\sqrt[3]{ca}}\right)=\frac{\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}}{\left(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\right)\cdot\sqrt[3]{abc}}=\frac{1}{\sqrt[3]{abc}}=1\)
Dấu "=" khi \(a=b=c=1\)
1, cho a,b,c>0. chứng minh \(a^4+b^4+c^4\ge abc\left(a+b+c\right)\)
2, chứng minh: với mọi a,b \(\ne0\)\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}\ge\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\)
3,cho các số thực \(\in\)đoạn 0 đến 1. chứng minh:\(a^4+a^3+c^2-ab-bc-ca\le1\)
4,cho a,b,c là các số thực dương tùy ý. chứng minh: \(\frac{a^3+b^3}{ab}+\frac{b^3+c^3}{bc}+\frac{c^3+a^3}{ca}\ge2\left(a+b+c\right)\)
5,cho a,b,c>0. chứng minh\(\frac{a}{bc}+\frac{b}{ac}+\frac{c}{ab}\ge2\left(\frac{1}{a}+\frac{1}{b}-\frac{1}{c}\right)\)
ai làm đk bài nào thì làm hộ e vs ạ
Lần sau đăng ít 1 thôi đăng nhiều ngại làm, bn đăng nhiều nên tui hướng dẫn sơ qua thôi tự làm đầy đủ vào vở
Bài 1:
Áp dụng BĐT AM-GM ta có:
\(a^4+b^4\ge2a^2b^2;b^4+c^4\ge2b^2c^2;c^4+a^4\ge2c^2a^2\)
Cộng theo vế 3 BĐT trên rồi thu gọn
\(a^4+b^4+c^4\ge a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\)
Áp dụng tiếp BĐT AM-GM
\(a^2b^2+b^2c^2=b^2\left(a^2+c^2\right)\ge2b^2ac\)
Tương tự rồi cộng theo vế có ĐPCM
Bài 2:
Quy đồng BĐT trên ta có:
\(\frac{a^2}{b^2}+\frac{b^2}{a^2}-\frac{a}{b}-\frac{b}{a}\ge0\)
\(\Leftrightarrow\frac{\left(a-b\right)^2\left(a^2+ab+b^2\right)}{a^2b^2}\ge0\) (luôn đúng)
Bài 4: Áp dụng BĐT AM-GM
\(a^3+b^3=\left(a+b\right)\left(a^2-ab+b^2\right)\)
\(\ge\left(a+b\right)\left(2ab-ab\right)=ab\left(a+b\right)\)
\(\Rightarrow\frac{a^3+b^3}{ab}\ge\frac{ab\left(a+b\right)}{ab}=a+b\)
Tương tự rồi cộng theo vế
Bài 5: sai đề tự nhien có dấu - :v nghĩ là +
ai k mình k lại [ chỉ 3 người đầu tiên mà trên 10 điểm hỏi đáp ]
Dạng 1: Bất đẳng thức cô-si
Bài 1 : Cho a,b.c>0 Chứng minh rằng \(a^3+b^3+c^3\ge a^2b+b^2c+ca^2\)
từ đó Chứng minh dạng tổng quát là : \(a^x+b^x+c^x\ge a^m.b^n+b^m.c^n+c^m.a^n\) ( m,n,x là các số nguyên dương và m+n=x)
Bài 2: Cho a,b.c>0
a)Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^3}+\frac{1}{b^3}+\frac{1}{c^3}\ge a+b+c\)
b) Chứng minh rằng \(\frac{a^4}{a^2b}+\frac{b^4}{b^2c}+\frac{c^4}{c^2a}\ge a+b+c\) ( cả 2 câu này cach làm như nhau nhé !)
Bài 3 :Cho a,b,c> 0 Thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{c^3+a^3+1}\le1\)
Áp dụng 1 trong 2 bài trên )
Bài 4:Cho x,y >0 thỏa mãn \(x+y\le2\)
Tìm min của \(A=\frac{1}{x^2}+\frac{1}{y^2}+2x+2y\)
^_^
Mấy câu này các bạn k cần full cũng được!
bài 1 a, hình như có thêm đk là a+b+c=3
Bài 4 nha
Áp dụng BĐT cô si ta có
\(\frac{1}{x^2}+x+x\ge3\sqrt[3]{\frac{1}{x^2}.x.x}=3.\)
Tương tự với y . \(A\ge6\)dấu = xảy ra khi x=y=1
câu 1 mk bị lộn nhưng đáng ra ca^2 thành c^2a mới đúng
1) Cho a, b, c>0 và a+b+c=3. Chứng minh rằng: \(\frac{a}{b^3+ab}+\frac{b}{c^3+bc}+\frac{c}{a^3+ac}\ge\frac{3}{2}\)
2) Cho a, b, c >0 thỏa mãn: ab+ac+bc+abc=4. Chứng minh rằng: \(\sqrt{ab}+\sqrt{ac}+\sqrt{bc}\le3\)
1) \(\Sigma\frac{a}{b^3+ab}=\Sigma\left(\frac{1}{b}-\frac{b}{a+b^2}\right)\ge\Sigma\frac{1}{a}-\Sigma\frac{1}{2\sqrt{a}}=\Sigma\left(\frac{1}{a}-\frac{2}{\sqrt{a}}+1\right)+\Sigma\frac{3}{2\sqrt{a}}-3\)
\(\ge\Sigma\left(\frac{1}{\sqrt{a}}-1\right)^2+\frac{27}{2\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}\right)}-3\ge\frac{27}{2\sqrt{3\left(a+b+c\right)}}-3=\frac{3}{2}\)
2.
Vỉ \(ab+bc+ca+abc=4\)thi luon ton tai \(a=\frac{2x}{y+z};b=\frac{2y}{z+x};c=\frac{2z}{x+y}\)
\(\Rightarrow VT=2\Sigma_{cyc}\sqrt{\frac{ab}{\left(b+c\right)\left(c+a\right)}}\le2\Sigma_{cyc}\frac{\frac{b}{b+c}+\frac{a}{c+a}}{2}=3\)
Cho o dong 2 la x,y,z nhe,ghi nham
Bài 1: Cho a>0;b>0;c>0 thỏa mãn abc=1. Chứng minh rằng:
a)\(a^3+b^3+c^3\ge a+b+c\)
b) \(a^3+b^3+c^3\ge a^2+b^2+c^2\)
Bài 2: Với mọi a,b,c là các số thực. Chứng minh rằng:
\(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge a +b+c\)
Bài 3: Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn \(x+y+z\le1\)
Chứng minh rằng: \(\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}}+\sqrt{y^2+\frac{1}{y^2}}+\sqrt{z^2+\frac{1}{z^2}}\ge\sqrt{82}\)
2a)với a,b,c là các số thực ta có
\(a^2-ab+b^2=\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2+\frac{3}{4}\left(a-b\right)^2\ge\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2\)
\(\Rightarrow\sqrt{a^2-ab+b^2}\ge\sqrt{\frac{1}{4}\left(a+b\right)^2}=\frac{1}{2}\left|a+b\right|\)
tương tự \(\sqrt{b^2-bc+c^2}\ge\frac{1}{2}\left|b+c\right|\)
tương tự \(\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{1}{2}\left|a+c\right|\)
cộng từng vế mỗi BĐT ta được \(\sqrt{a^2-ab+b^2}+\sqrt{b^2-bc+c^2}+\sqrt{c^2-ca+a^2}\ge\frac{2\left(a+b+c\right)}{2}=a+b+c\)
dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi a=b=c
Cho a,b > 0 thỏa mãn a+b=1.Chứng minh rằng
a, \(a^3\)+\(b^3\)\(\ge\frac{1}{4}\)
b,\(\frac{1}{a^3+b^3}\)+\(\frac{3}{ab}\ge16\)
Lời giải:
a) Áp dụng BĐT Cô-si cho các số dương:
$a^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}a$
$b^3+\frac{1}{8}+\frac{1}{8}\geq \frac{3}{4}b$
$\Rightarrow a^3+b^3+\frac{1}{2}\geq \frac{3}{4}(a+b)=\frac{3}{4}$
$\Rightarrow a^3+b^3\geq \frac{1}{4}$ (đpcm)
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
b) Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:
\(\frac{1}{a^3+b^3}+\frac{3}{ab}=\frac{1}{a^2-ab+b^2}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}+\frac{1}{ab}\geq \frac{(1+1+1+1)^2}{a^2-ab+b^2+ab+ab+ab}\)
\(=\frac{16}{(a+b)^2}=16\)
Ta có đpcm
Dấu "=" xảy ra khi $a=b=\frac{1}{2}$
Bài tập 3* . Chứng minh rằng :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\) với x, y > 0
Bài tập 5* . Chứng minh rằng :
\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{a+c+1}+\frac{c}{a+b+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)với \(0\le a,b,c\le1\)
Bài tập 9* . Chứng minh rằng :
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}+\frac{1}{b^3+c^3+abc}+\frac{1}{a^3+c^3+abc}\le\frac{1}{abc}\)với a, b, c > 0
Áp dụng bđt Cauchy cho 2 số không âm :
\(x^2+\frac{1}{x}\ge2\sqrt[2]{\frac{x^2}{x}}=2.\sqrt{x}\)
\(y^2+\frac{1}{y}\ge2\sqrt[2]{\frac{y^2}{y}}=2.\sqrt{y}\)
Cộng vế với vế ta được :
\(x^2+y^2+\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\ge2.\sqrt{x}+2.\sqrt{y}=2\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\)
Vậy ta có điều phải chứng mình
Ta đi chứng minh:\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0\)* đúng *
Khi đó:
\(\frac{1}{a^3+b^3+abc}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{1}{ab\left(a+b+c\right)}=\frac{c}{abc\left(a+b+c\right)}\)
Tương tự:
\(\frac{1}{b^3+c^3+abc}\le\frac{a}{abc\left(a+b+c\right)};\frac{1}{c^3+a^3+abc}\le\frac{b}{abc\left(a+b+c\right)}\)
\(\Rightarrow LHS\le\frac{a+b+c}{abc\left(a+b+c\right)}=\frac{1}{abc}\)
Trời ạ cay vãi shit đánh máy xong rồi tự nhiên bấm hủy T.T bài 1 ngắn đã đành ......
\(WLOG:a\ge b\ge c\)
Ta dễ có:\(\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{c+a+1}+\frac{c}{a+b+1}\)
\(\le\frac{a}{b+c+1}+\frac{b}{b+c+1}+\frac{c}{b+c+1}\)
\(=\frac{a+b+c}{b+c+1}\)
Ta cần chứng minh:
\(\frac{a+b+c}{b+c+1}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\)
\(\Leftrightarrow a+b+c+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(b+c+1\right)\le1+b+c\)
\(\Leftrightarrow\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le1-a\) ( 1 )
Mà theo AM - GM :
\(\left(1-b\right)\left(1-c\right)\left(1+b+c\right)\le\left(\frac{1-b+1-c+1+b+c}{3}\right)^3=1\)
Khi đó ( 1 ) đúng
Vậy ta có đpcm
Nếu bài toán trở thành
\(\frac{a}{bc+2}+\frac{b}{ca+2}+\frac{c}{ab+2}+\left(1-a\right)\left(1-b\right)\left(1-c\right)\le1\) thì bài toán khó định hướng hơn rất nhiều :D
Cho a, b \(\ge\)0. CMR: a3+b3\(\ge\)ab(a + b)
Áp dụng CM: \(\frac{1}{a^3+b^3+1}+\frac{1}{b^3+c^3+1}+\frac{1}{a^3+c^3+1}\le1\) với a, b, c > 0 thỏa mãn abc=1
\(a^3+b^3\ge ab\left(a+b\right)\)
\(\Leftrightarrow a^3+b^3-a^2b-ab^2\ge0\)
\(\Leftrightarrow\left(a-b\right)^2\left(a+b\right)\ge0,\forall a,b\ge0\)
Áp dụng:
\(\frac{1}{a^3+b^3+1}\le\frac{1}{ab\left(a+b\right)+1}=\frac{abc}{ab\left(a+b\right)+abc}=\frac{c}{a+b+c}\)
\(\frac{1}{b^3+c^3+1}\le\frac{1}{bc\left(b+c\right)+1}=\frac{abc}{bc\left(b+c\right)+abc}=\frac{a}{a+b+c}\)
\(\frac{1}{c^3+a^3+1}\le\frac{1}{ca\left(c+a\right)+1}=\frac{abc}{ca\left(c+a\right)+abc}=\frac{b}{a+b+c}\)
\(\Rightarrow VT\le\frac{c}{a+b+c}+\frac{a}{a+b+c}+\frac{b}{a+b+c}=\frac{a+b+c}{a+b+c}=1\left(đpcm\right)\)